第1章 绪论
小波分析是近20年来发展起来的新兴学科,是当前数学领域的一个迅猛发展的新方向。它既具有丰富的数学理论意义,又具有广泛的工程应用价值,从数值分析角度看,它是Fourier分析的一个突破性进展,给许多相关学科的研究领域带来了新的思想,为工程应用领域提供了一种更新的更有效的分析工具。利用小波基对图像进行一种新的正交展开,并且又能同时显示出时、频域的局部特征,因此现在已经广发用于信号或图像的处理当中。可以想象,随着小波分析理论的日益成熟和完善,它的应用将会更加有效、更加深入、更加广泛。
本章主要给出小波分析的发展历史以及小波包在图像处理中的应用简介。
1.1 小波分析发展历史简介
小波分析这一思想来源于伸缩和平移的概念。小波分析是由Y.Meyer、S.Mallat及Daubechies等奠定基础并迅速发展起来的。1910年,Haar提出了最早的小波规范正交基,但当时并没有给出小波这一名称。1910年,Haar提出了最早的小波规范正交基,但当时并没有给出小波这一名称。1981年,Morlet研究了Gabor变换方法,对Fourier变换和加窗变换的特点及函数构造做了创造性的研究,首次提出了“小波分析”的概念,并建立了Mallat小波。1986年Meyer创造性的构造出了具有一定衰减性的光滑函数,1987年Mallat巧妙的将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中的小波函数构造及信号按小波变换及重构,并将该方法有效的应用于图像的分解与重构。Lemarie和Battle
继Meyer之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987年,Mallat利用多分辨分析的概念,统一了这之前的各种具体小波的构造,并提出了现今广泛应用的Mallat快速小波分解和重构算法。1988年Daubechies构造了具有紧支集的正交小波基。Coifman,Meyer等人在1989年引入了小波包的概念,基于样条函数的单正交小波基由崔锦泰和王建忠在1990年构造出来。1992年A.Cohen,I.Daubeches等人构造出了紧支撑双正交小波基。同一时期,有关小波变换与滤波器组之间的关系也得到了深入研究。小波分析的理论基础基本建立起来。小波理论及其应用仍然处在发展中,其未来将在非线性多尺度方法、非规则集上的小波构造以及非平稳、非均匀、时变信号处理等方面进行了更深入的研究。
1.2 小波包在图像处理中的概况
小波包分析理论作为新的时频分析工具,在信号分析和处理中得到了很好的应用,它在信号处理、模式识别、图像分析、数据压缩、语音识别与合成等等许多方面都取得了很有意义的研究成果。平面图像可以看成是二维信号,因此,小波包分析很自然地应用到了图像处理领域,如在图像的压缩编码、图像消噪、图像增强以及图像融合等方面都很好的应用。这一节将对小波包分析在图像处理中的应用作以简单介绍。